E1 - M2N > O1-d. Réduction modèles et contrôle
Ces travaux sur la réduction de modèles s’orientent dans trois directions :
- Obtention de résultats mathématiques portant sur la convergence de la méthode PGD et de la sensibilité des vecteurs propres à la variation des paramètres dans la méthode POD.
- Développement des méthodes originales d’interpolation des espaces propres de la POD dans les variétés de Grassmann.
- Construction d’algorithmes de contrôles robustes basées sur des modèles réduits.
Résultats mathématiques sur la convergence de la PGD :
contrairement aux méthodes de discrétisation (EF, DF, VF, etc ...), seuls de rares résultats de convergence partiels existent dans la littérature pour la méthode PGD.
Nous avons démontré la convergence (conditionnelle) de la méthode de minimisation alternée pour le calcul d’une direction de descente optimale pour une classe de problèmes elliptiques variationnels (isotropes ou non). Dans un travail récent, nous nous affranchissons d’une hypothèse faite antérieurement pour compléter la preuve de convergence.
Sensibilité des espaces propres de la POD :
les résultats obtenus sur la sensibilité des éléments propres (valeurs propres et vecteurs propres) de la POD ont été appliqués au calcul des mouvements respiratoires en calculant la base POD la plus stable pendant la phase d’apprentissage avec la méthode du flot optique. Cette base POD est ensuite utilisée pour calculer, en temps réel, le mouvement respiratoire lors de la phase d’intervention. Nous avons utilisé des données issues du CHU de Bordeaux pour valider notre méthode.
Interpolation des sous-espaces propres dans les variétés de Grassmann :
afin d’interpoler les sous-espaces propres POD, nous avons étendu la méthode d’interpolation par inverse de la distance pondérée aux variétés de Grassmann. Cette méthode d’interpolation ne requiert pas le choix d’un point de référence pour la construction de la nouvelle base, comme c’est le cas dans un travail antérieur dû à D. Amsallem & C. Farhat. On a pu, à l’occasion de la thèse de Rolando Mosquera, proposer plusieurs méthodes d’interpolations des sous-espaces propres de la POD qui se sont avérées plus robustes que les approches proposées précédemment. Enfin, dans le cadre du projet ANR MODULO’PI, les techniques d’interpolation de bases et la méthode PGD ont été utilisées pour construire des modèles réduits paramétriques capables de prédire rapidement la pression pariétale sur un obstacle. Cette pression pariétale est ensuite utilisée, par le partenaire industriel (Naval Group), pour quantifier l’impact des incertitudes liées aux chargements (hydrodynamique et mécanique) et aux paramètres matériaux, sur les quantités vibratoires dimensionnantes dans les études de la durée de vie et de discrétion acoustique des structures immergées. Les différents maillons du processus ont été testés sur un profil NACA en régime turbulent pour différentes valeurs d’incidence du NACA et différentes intensités de la vitesse d’écoulement. Notre approche a aussi été mise en œuvre avec succès à l’occasion de l’ANR HECO portant sur les fours industriels.
- Interaction entre un solide en rotation imposée et un fluide. Modèle complet (haut) et modèle réduit interpolé (bas)
Contrôle optimal des écoulements :
la résolution des problèmes de contrôle optimal par des algorithmes génétiques ou des algorithmes de descente nécessite des temps de calcul et des capacités de stockage importants ce qui limite leur utilisation, notamment en mécanique des fluides. Pour s’affranchir de ces contraintes, il est possible d’utiliser les méthodes de réduction de modèles comme la POD. La difficulté essentielle est alors l’évolution de la base POD dans les algorithmes de contrôle. Nous avons d’abord opté pour la construction d’une base POD globale, obtenue à partir de simulations pour différentes valeurs des paramètres de contrôle, balayant l’intervalle des paramètres pour lequel le contrôle sera effectué. Cette approche POD-ROM a notamment été utilisée pour contrôler le champ de température dans des écoulements en agissant sur les conditions aux limites en vitesse et/ou en température. Elle nous a également permis de déterminer en temps réel le champ de température et de vitesse dans une pièce d’un bâtiment à partir de la connaissance de la température en quelques capteurs. Nous avons aussi utilisé les enrichissements de la base POD via la méthode PGD. Plus récemment, à l’occasion de la thèse de Mourade Oughlou, nous avons utilisé des techniques d’interpolation des sous-espaces POD dans les variétés de Grassmann associées à un algorithme génétique réduit dans lequel la fonctionnelle objectif est calculée par une approche de réduction de modèle non intrusive, qui ne requiert aucune connaissance préalable des équations du modèle. Cette technique nous a permis de construire une méthode de contrôle optimale en temps quasi-réel. La robustesse de cet algorithme en termes de temps de calcul et de précision est démontrée sur les problèmes de contrôle optimal de l’écoulement autour d’un cylindre et de l’écoulement dans une cavité entraînée. Tout récemment, dans le cadre d’un projet FEDER, cette approche a également été appliquée avec succès pour contrôler l’écoulement turbulent en convection mixte dans une pièce ventilée avec plancher chauffant.