Laboratoire des Sciences de l'Ingénieur pour l'Environnement (LaSIE) - UMR CNRS 7356

O2-d. Calculs ab initio et mécanismes de transfert

Erwan Liberge — 2023-06-14T21:07:36Z

Les objectifs de ce thème sont de mettre en place le développement au sein du laboratoire de calculs conduits à l'échelle atomique afin d'accéder à des propriétés de transports (diffusion, solubilité) de solutés tel que l'hydrogène au sein des solides métalliques en y questionnant les problématiques de couplage. Ainsi nous avons débuté une démarche systématique des couplages existant entre les contributions électronique, élastique et entropique dans le cadre d'un formalisme thermodynamique. Le travail porté par notre collègue A. Metsue (ANR CRACKHINIT 2018-2022) a principalement été conduit par des calculs ab initio sur le couple nickel/hydrogène en collaboration avec l'axe DMPR qui s'intéresse à la diffusion/piégage de l'hydrogène et ses conséquences sur la fragilisation par l'hydrogène. La richesse de la dynamique résulte aussi de la confrontation avec des mesures expérimentales. Parmi les questionnements visités, nous soulignerons les effets sur la diffusion de l'hydrogène des champs élastiques au voisinage d'une surface, d'un joint de grains, de lacunes, des amas de lacunes et de la dislocation coin et l'impact de l'hydrogène sur les propriétés d'élasticité (figure ci-dessous).

Exemple de l'effet des amas de lacune induits par l'hydrogène sur les modules d'élasticité du nickel monocristallin

(G. Hachet, A. Metsue, A. Oudriss, X. Feaugas, Acta Mater, 148 (2018) 280-288)

O2-c. Interaction fluide structure :

Erwan Liberge — 2023-06-14T21:07:34Z

Les problèmes d'interactions fluides structures interviennent dans de nombreuses applications en environnement et en production de l'énergie. Dans notre axe, nous développons des méthodes numériques de type Lattice-Boltzmann pour les problèmes d'interactions fluides structures. Nous nous intéressons aussi au couplage entre les vibrations des structures et l'aéro-acoustique. Pour ces problèmes, des mesures expérimentales viennent en appui à la simulation numérique.

Nous avons développé dans un premier temps un schéma de type Lattice-Boltzmann pour les problèmes d'interaction fluide-structure basé sur la méthode de pénalisation volumique pour le solide. Les simulations basées sur cette approche ont été validées sur un problème de vibration d'un cylindre sous écoulement. Pour tenir compte de l'équation de l'élasticité du solide, nous nous sommes appuyés sur l'écriture du couplage fluide-solide, comme un seul fluide multiphasique viscoélastique. La présence des deux phases est gérée via les équations de Cahn–Hilliard. La modification de la fonction d'équilibre permet alors de retrouver les équations du problème couplé via un développement de Chapman-Enskog du schéma de Lattice Boltzmann. Le schéma a pu être implémenté sur des cartes GPU. Les résultats des simulations pour de nombreuses configurations confirment la pertinence de l'approche.

Par ailleurs, nous étudions les nuisances sonores engendrées par l'impact d'un écoulement sur une structure. Ces travaux sont essentiellement de nature expérimentale. Pour appréhender les interactions entre la dynamique tourbillonnaire des écoulements étudiés et les champs acoustiques générés, nous avons utilisé des techniques de Stéréo-PIV résolue en temps et de Tomo-PIV résolue en temps. Ainsi, nous avons pu mettre en évidence des corrélations entre l'énergie cinétique turbulente et le champ acoustique dans un jet plan heurtant une plaque fendue. Nous avons également utilisé ces résultats expérimentaux pour de la reconstitution volumique de ces écoulements à partir de données 2D-3C sur différents plans. Deux méthodes de reconstruction ont été appliquées à ces plans : la POD et la moyenne de phase. Le volume est obtenu par une interpolation des plans reconstruits donnant accès aux trois composantes de la vitesse. Ces méthodes de reconstruction en 3D à faible coût ont été validées par comparaison avec des mesures expérimentales réalisées par le même dispositif expérimental, dans les mêmes conditions, par la PIV tomographique donnant accès aux champs cinématiques tridimensionnels.

D'autre part, des études en cours s'intéressent à l'influence de l'introduction d'une instabilité sur le comportement acoustique, de la dynamique tourbillonnaire et les transferts énergétiques d'un jet heurtant une plaque fendue produisant un son auto-entretenu. Ces instabilités sont produites par la perturbation de l'écoulement du jet par un obstacle de faible dimension, ou des instabilités thermiques en chauffant la plaque fendue heurtée par le jet.

Champs des vitesses 3D dans un volume mesuré par Tomo-PIV avec une haute résolution spatio-temporelle : jet plan heurtant une plaque fendue produisant un son auto-entretenu

O2-b. Milieux poreux

Erwan Liberge — 2023-06-14T21:07:31Z

En plus des résultats portant sur homogénéisation des transferts dans les milieux poreux nos travaux dans ce domaine s'articulent autour des points suivants :

La caractérisation de la microstructure des matériaux hétérogènes par analyse d'image 2D (MEB, photo) ou 3D (tomographie X).
Le développement de modèles de transferts couplés dans les milieux poreux par une approche multi-échelles. On s'intéresse ici plus particulièrement à la détermination des expressions des propriétés à l'échelle macroscopique (conductivité thermique, diffusivité, perméabilité, etc.) en fonction de la microstructure.
Le calcul des propriétés de transfert des milieux poreux sur des microstructures réelles (obtenues par exemple par tomographie X) ou simplifiées, comme les réseaux de pores. Nous avons notamment développé un code de calcul volumes finis pour la résolution des équations de Navier Stokes à faible Reynolds optimisé pour les images tomographiques.
Depuis 2017, dans le cadre de la thèse de Jean David Lau Hiu Hoong, on travaille également sur l'application du « Deep Learning » pour la caractérisation des matériaux. Nous développons des architectures de réseaux de neurones profonds pour la classification et la caractérisation de granulats recyclés à partir d'images dans le visible et bientôt d'images hyperspectrales.

Simulation numérique d'un écoulement à faible Reynolds dans une mousse métallique (lignes de courant)

O2-a. Capillarité

Erwan Liberge — 2023-06-14T21:07:29Z

les travaux réalisés au LaSIE concernent l'étude du comportement des ponts capillaires jusqu'à la rupture, en se focalisant sur les instabilités et le comportement dynamique (très rapide) associés à une évolution proche de la rupture. Ils sont liés à une thématique fondamentale en mécanique et en physique, la capillarité. Les applications sont multiples et peuvent concerner la géomécanique, les géosciences, ou encore les sciences du vivant (stabilité des sols à morphologie granulaire, avalanches, glissements de terrain, remontée de la sève dans les capillaires fins, compaction de poudres cohésives …).

Dans ces travaux, on se focalise sur la description fine et la modélisation des interfaces capillaires (ponts capillaires) entre les trois phases en présence, à savoir la phase solide (grains rigides), la phase liquide (eau) et la phase gazeuse (air), ainsi que sur les interactions entre ces phases. Les ponts capillaires qui se créent, en présence d'eau entre les grains solides, donnent lieu à des forces capillaires d'attraction entre ces grains, assurant ainsi une cohésion du milieu granulaire partiellement saturé. Il est admis que les processus géomécaniques complexes à grande échelle (stabilité des sols à morphologie granulaire, avalanches, glissements de terrain) trouvent leurs origines à des petites échelles, et notamment à l'échelle de la particule élémentaire. Il apparaît donc naturel et nécessaire dans ce contexte de bien comprendre la physique et la mécanique à l'échelle des grains, ainsi que les interactions d'origine capillaire résultantes.

Des résultats mathématiques récents obtenus au LaSIE permettent d'identifier, par méthode inverse lorsque la pression capillaire est inconnue, la géométrie exacte du pont capillaire comme une surface de révolution avec une courbure moyenne constante et de déterminer les caractéristiques associées (volume, surface, force capillaire, pression). Cette méthode utilise les techniques d'imagerie et de traitement d'image pour accéder aux points de contact de la ligne triple (interface entre les 3 phases), aux angles de mouillage et de remplissage et au rayon de gorge. Afin de s'affranchir de la distorsion des ponts capillaires due à la gravité et de découpler les phénomènes physiques en jeu, des expériences en micro-gravité ont été réalisées en vol parabolique avec le CNES.

Rupture des ponts capillaires

O1-d. Réduction modèles et contrôle

Erwan Liberge — 2023-06-14T20:46:36Z

Ces travaux sur la réduction de modèles s'orientent dans trois directions :

Obtention de résultats mathématiques portant sur la convergence de la méthode PGD et de la sensibilité des vecteurs propres à la variation des paramètres dans la méthode POD.
Développement des méthodes originales d'interpolation des espaces propres de la POD dans les variétés de Grassmann.
Construction d'algorithmes de contrôles robustes basées sur des modèles réduits.

Résultats mathématiques sur la convergence de la PGD :
contrairement aux méthodes de discrétisation (EF, DF, VF, etc ...), seuls de rares résultats de convergence partiels existent dans la littérature pour la méthode PGD.

Nous avons démontré la convergence (conditionnelle) de la méthode de minimisation alternée pour le calcul d'une direction de descente optimale pour une classe de problèmes elliptiques variationnels (isotropes ou non). Dans un travail récent, nous nous affranchissons d'une hypothèse faite antérieurement pour compléter la preuve de convergence.

Sensibilité des espaces propres de la POD :
les résultats obtenus sur la sensibilité des éléments propres (valeurs propres et vecteurs propres) de la POD ont été appliqués au calcul des mouvements respiratoires en calculant la base POD la plus stable pendant la phase d'apprentissage avec la méthode du flot optique. Cette base POD est ensuite utilisée pour calculer, en temps réel, le mouvement respiratoire lors de la phase d'intervention. Nous avons utilisé des données issues du CHU de Bordeaux pour valider notre méthode.

Interpolation des sous-espaces propres dans les variétés de Grassmann :
afin d'interpoler les sous-espaces propres POD, nous avons étendu la méthode d'interpolation par inverse de la distance pondérée aux variétés de Grassmann. Cette méthode d'interpolation ne requiert pas le choix d'un point de référence pour la construction de la nouvelle base, comme c'est le cas dans un travail antérieur dû à D. Amsallem & C. Farhat. On a pu, à l'occasion de la thèse de Rolando Mosquera, proposer plusieurs méthodes d'interpolations des sous-espaces propres de la POD qui se sont avérées plus robustes que les approches proposées précédemment. Enfin, dans le cadre du projet ANR MODULO'PI, les techniques d'interpolation de bases et la méthode PGD ont été utilisées pour construire des modèles réduits paramétriques capables de prédire rapidement la pression pariétale sur un obstacle. Cette pression pariétale est ensuite utilisée, par le partenaire industriel (Naval Group), pour quantifier l'impact des incertitudes liées aux chargements (hydrodynamique et mécanique) et aux paramètres matériaux, sur les quantités vibratoires dimensionnantes dans les études de la durée de vie et de discrétion acoustique des structures immergées. Les différents maillons du processus ont été testés sur un profil NACA en régime turbulent pour différentes valeurs d'incidence du NACA et différentes intensités de la vitesse d'écoulement. Notre approche a aussi été mise en œuvre avec succès à l'occasion de l'ANR HECO portant sur les fours industriels.

Interaction entre un solide en rotation imposée et un fluide. Modèle complet (haut) et modèle réduit interpolé (bas)

Contrôle optimal des écoulements :
la résolution des problèmes de contrôle optimal par des algorithmes génétiques ou des algorithmes de descente nécessite des temps de calcul et des capacités de stockage importants ce qui limite leur utilisation, notamment en mécanique des fluides. Pour s'affranchir de ces contraintes, il est possible d'utiliser les méthodes de réduction de modèles comme la POD. La difficulté essentielle est alors l'évolution de la base POD dans les algorithmes de contrôle. Nous avons d'abord opté pour la construction d'une base POD globale, obtenue à partir de simulations pour différentes valeurs des paramètres de contrôle, balayant l'intervalle des paramètres pour lequel le contrôle sera effectué. Cette approche POD-ROM a notamment été utilisée pour contrôler le champ de température dans des écoulements en agissant sur les conditions aux limites en vitesse et/ou en température. Elle nous a également permis de déterminer en temps réel le champ de température et de vitesse dans une pièce d'un bâtiment à partir de la connaissance de la température en quelques capteurs. Nous avons aussi utilisé les enrichissements de la base POD via la méthode PGD. Plus récemment, à l'occasion de la thèse de Mourade Oughlou, nous avons utilisé des techniques d'interpolation des sous-espaces POD dans les variétés de Grassmann associées à un algorithme génétique réduit dans lequel la fonctionnelle objectif est calculée par une approche de réduction de modèle non intrusive, qui ne requiert aucune connaissance préalable des équations du modèle. Cette technique nous a permis de construire une méthode de contrôle optimale en temps quasi-réel. La robustesse de cet algorithme en termes de temps de calcul et de précision est démontrée sur les problèmes de contrôle optimal de l'écoulement autour d'un cylindre et de l'écoulement dans une cavité entraînée. Tout récemment, dans le cadre d'un projet FEDER, cette approche a également été appliquée avec succès pour contrôler l'écoulement turbulent en convection mixte dans une pièce ventilée avec plancher chauffant.

O1-c. Equations de champ de phase

Erwan Liberge — 2023-06-14T20:46:33Z

Afin de traiter les problèmes d'interface entre différentes phases, nous nous intéressons aux équations de champ de phase, en particulier les équations de champ de phase d'ordre élevé afin de tenir compte de l'anisotropie dans la séparation de phase. Nous étudions mathématiquement les équations de Allen-Cahn et Cahn-Hilliard contenant des dérivées d'ordre arbitrairement élevé (caractère bien posé des équations, comportement des solutions en temps long, simulations numériques...). Nous nous sommes aussi intéressés au couplage des Equations de Navier-Stokes et de Cahn-Hilliard pour modéliser le mélange de deux fluides non miscibles confinés. Nous avons étudié le cas du mélange de deux fluides incompressibles.

Du fait du confinement des fluides, le modèle résultant comprend des conditions aux bords dynamiques, ce qui complexifie l'étude mathématique (existence de solutions, schémas numériques stables, simulations numériques ...). De plus, profitant d'un projet PHC Barrande avec l'Académie des Sciences de Prague, une collaboration a débuté sur la même thématique, mais en supposant cette fois les fluides compressibles.

O1-b. Diffusion anormale et dérivées fractionnaires

Erwan Liberge — 2023-06-14T20:46:30Z

Au sein de l'équipe, nous avons de nombreux travaux mathématiques sur les équations aux dérivées partielles fractionnaires, une des membres de l'équipe est une référence internationale dans le domaine. Nous ne citons qu'un exemple d'application en mécanique. Dans le domaine de la diffusion anormale, où la loi de Fick classique n'est pas vérifiée, on modélise la diffusion via un opérateur différentiel fractionnaire. Dans la pratique, l'ordre de dérivation fractionnaire est inconnu et doit être estimé à partir des résultats expérimentaux. Nous avons démontré un résultat novateur, qui permet l'identification de cet ordre de dérivation en mettant en évidence le problème exact vérifié par la solution correspondant à la direction de descente de la fonction coût. Ce travail soulève une nouvelle classe de problèmes de régularité des solutions pour des problèmes aux limites dans une famille d'espaces de Sobolev dépendant de l'ordre de dérivation. En effet, classiquement, on étudie la régularité des solutions dans un espace de Sobolev fixe. Cette thématique théorique est en cours d'étude.

O1-a. Mathématiques et mécanique géométrique

Erwan Liberge — 2023-06-14T20:46:28Z

Intégrateurs géométriques :
La géométrie différentielle permet de construire des modèles et des schémas numériques préservant les propriétés physiques. Ainsi, nous avons démontré les performances des approches utilisant des symétries de Lie pour la construction de modèles de sous-maille pour les écoulements turbulents, des lois d'échelle pour les écoulements anisothermes, des intégrales premières et lois de conservation en mécanique des fluides. Cela nous amené à étendre ces approches à la construction des schémas numériques. Nous avons ainsi construit des discrétisations des équations aux dérivées partielles préservant les symétries de Lie grâce à la technique des repères mobiles d'Elie Cartan.

Plus récemment nous avons développés des schémas numériques basés sur le calcul différentiel extérieur discret (DEC) qui assure que lors de la discrétisation d'une équation aux dérivées partielles, le carré de la différentielle extérieure est nul à la précision machine. En particulier, c'est une façon d'assurer que les identités classiques de type div rot = 0 et rot grad = 0 sont vérifiées à la précision machine. Cela apporte beaucoup d'avantages en éliminant des solutions parasites dans les domaines non simplement connexes ou avec des coins. Mais un autre avantage important est que ce type de discrétisation s'adapte naturellement aux variétés. Nous avons déployé cette approche sur différents problèmes, en particulier pour la simulation des écoulements isothermes et anisothermes ainsi que pour l'étude de la dynamique d'un vortex sur une variété sans bords. Une synthèse sur les intégrateurs géométriques a fait l'objet d'un article de 70 pages (Razafindralandy et al. Adv. Model. and Simul.in Eng. Sci. (2018) 5:16).

Géométrie généralisée, géométrie graduée et schémas numériques.
Nous travaillons également sur la formalisation géométrique des problèmes mécaniques couplés (par exemple les problèmes d'interaction fluide structure). La structure géométrique sous-jacente permet la construction des schémas numériques préservant le bilan de puissance. Il s'agit d'une structure géométrique dite de Dirac, qui généralise la géométrie symplectique et la géométrie de Poisson. Nous utilisons cette structure dans deux contextes : les systèmes mécaniques avec contraintes et les systèmes dits hamiltoniens à ports (SHP). Nous avons ainsi montré que, pour les problèmes avec contraintes en dimension finie, il est possible de construire des schémas numériques préservant la structure de Dirac. Nous avons mis en évidence comment il est possible d'améliorer la précision de ce type de schémas (V. Salnikov, A. Hamdouni, Z. Angew Math Mech. 2019). Pour les SHP, on s'est aperçu que le formalisme n'ajoute pas forcément de l'information géométrique, par contre il permet « d'ordonner » le système pour la gestion plus optimale du calcul. En plus, il offre un passage possible vers le formalisme de la géométrie graduée.

La géométrie graduée est le cadre mathématique qui a été développé en physique théorique pour préciser les supersymétries. Il s'avère que, au-delà de la motivation initiale, il s'agit d'un langage mathématique puissant et souple permettant d'unifier de grandes classes de structures intervenant en mécanique (géométrie symplectique, géométrie de Poisson et structure de Dirac). Nous travaillons pour adapter la géométrie graduée au formalisme géométrique de la mécanique. Pour cela, il a fallu en premier lieu comprendre certaines constructions de la structure fonctionnelle et les propriétés des variétés graduées, ainsi que formuler les « near-at-hand tasks » pour leur implémentation numérique (V.Salnikov, A.Hamdouni, P.C.S 2020).

Grâce à un travail en collaboration avec Camille Laurent Gengoux de l'Institut Elie Cartan de l'Université de Lorraine, nous avons pu faire le lien entre les variétés différentielles graduées et feuilletages singuliers (qui apparaissent naturellement dans les problèmes de contrôle). Cette connexion nous a ouvert des perspectives vers l'application de la géométrie graduée à la théorie du contrôle non linéaire en mécanique. Ce travail fait l'objet d'un projet 80 Prime du CNRS soutenu par l'INSMI (projet GraNum, Géométrie graduée et schémas numériques, 80 Prime du CNRS, 2020 – 2021).

Quelques résultats théoriques sur les structures de Poisson.
Des travaux sur les structures de Poisson sont menés en collaboration avec P. Vanhaecke (Laboratoire de Mathématiques et Applications, de l'université́ de Poitiers) et T. Lambre (Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal, université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand). De même que dans le cadre des algèbres de Lie, il existe une notion d'algèbre enveloppante pour les algèbres de Poisson. Ces travaux sont en lien avec les algèbres de Lie-Rinehart. Les algèbres de Poisson sont, tous comme les algèbres de Lie, des cas particuliers d'algèbres de Lie-Rinehart. Il est connu depuis les travaux de Rinehart, en 1963, que ces algèbres admettent, sous certaines conditions, un théorème du type Poincaré-Birkoff-Witt. En terme d'algèbre de Poisson, cela se traduit par le fait qu'une algèbre de Poisson lisse admet un théorème de Poincaré-Birkoff-Witt (T. Lambre C. Ospel, P. Vanhaecke ; J. of Algebra 458 (2017)). Nous avons donné́ plusieurs nouvelles constructions de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Poisson. Cela nous a permis d'établir un théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt pour une classe importante d'algèbres de Poisson singulières. Géométriquement, ces algèbres correspondent à des hypersurfaces de Poisson singulières de variété de Poisson affine lisse arbitraire.
Dans le cadre d'une collaboration avec F. Panaite (Bucarest) et P. Vanhaecke, nous travaillons depuis 2017 sur l'étude de généralisations de structures d'algèbres dendriformes. Classiquement, ces algèbres sont associées à des algèbres associatives.

Nous avons généralisé ces structures à des algèbres satisfaisant un ensemble donné de relations quelconques. Ces généralisations sont définies par une propriété naturelle de bimodule. Nous donnons une procédure permettant d'établir facilement les relations les définissant, à partir des relations de l'algèbre originale.
La notion de polarisation d'une algèbre introduite par M. Markl, E. Remm en 2006 dans le cadre des algèbres dendriformes a pu être généralisée à ces algèbres dendriformes généralisées. Cela permet d'en donner une description plus simple. Nous avons ainsi pu étendre des résultats de M. Aguiar concernant les déformations d'algèbres dendriformes. La méthode utilisée pour la généralisation est ensuite appliquée pour définir des opérateurs de Rota-Baxter faibles pour des algèbres quelconques. Ces opérateurs permettent également de retrouver les algèbres dendriformes généralisées. Cela nous a conduit à généraliser un autre résultat de M. Aguiar donnant une interprétation naturelle du lien entre les bigèbres infinitésimales et les algèbres de pré-Lie en termes d'algèbres dendriformes.

Évolution d'un vortex sur un ellipsoïde. Calcul par DEC

Dina Razafindralandy

Presentation

Erwan Liberge — 2023-06-14T20:46:25Z

– Coordinateur : Aziz HAMDOUNI
– Annuaire : membres de l'axe

Stratégie scientifique et organisation

Le cœur des travaux de l'axe M2N porte sur le développement des modèles mathématiques et numériques en mécanique en général et les phénomènes de transfert en particulier. L'équipe développe une forte orientation vers l'interaction entre mathématiques et mécanique et plus particulièrement l'interaction avec la géométrie différentielle ainsi que l'analyse des équations aux dérivées partielles non linéaires de la mécanique. En effet, la plupart des problèmes auxquels s'intéresse notre laboratoire sont de nature multi-échelles, aussi nous pensons que pour changer de paradigme dans la modélisation de ces problèmes, la géométrie différentielle moderne est un outil puissant pour développer une modélisation respectant les propriétés physiques fondamentales, permettant de prendre en compte les changements d'échelles tant dans la construction des modèles théoriques que dans la construction des schémas numériques. Par ailleurs, l'importance et l'efficacité des outils d'analyse des équations aux dérivées partielles non linéaires pour les problèmes de mécaniques ne sont plus à démontrer. En parallèle, nous construisons des modèles « opérationnels » en lien avec les principales applications intéressant le laboratoire tout en s'ouvrant vers de nouvelles applications importantes à l'échelle régionale.

L'axe est organisé en deux opérations :

Opération 1 : Modélisation mathématique et mécanique géométrique
Cette opération fait le lien entre les travaux portant sur la mécanique géométrique d'une part, et l'analyse mathématique des équations de la mécanique d'autre part. Elle concerne également les travaux sur la réduction de modèles et le contrôle optimal. Les travaux menés au sein de l'opération 1 concernent les grands thèmes suivant :
Opération 2 : Modélisation multi-échelles pour les milieux poreux et denses, et phénomènes couplés
Dans cette opération, nous menons des travaux portant sur les thèmes suivant :

Deux groupes de travail permettent des échanges scientifiques récurrent au sein de M2N. Il s'agit des groupes :

Géométrie et Mécanique
Équations aux dérivées partielles et réduction de modèles

Projets

Ameur El Amine Hamami — 2020-07-07T09:20:33Z

- E4 - DMPR / E4 - DMPR